没有出生证明对公证抚养权确实会造成一定的困扰，因为出生证明是确认亲子关系的重要文件之一。然而，这并不意味着在没有出生证明的情况下就无法公证抚养权。下面我将详细解释这一过程。

首先，我们要明确出生证明在公证抚养权中的作用。出生证明主要用于证明孩子与父母之间的生物关系，这在确定抚养权时是非常重要的。但是，如果没有出生证明，我们还可以通过其他途径来证明亲子关系。

一种常见的方法是进行亲子鉴定。亲子鉴定是一种通过科学手段检测父母与子女之间是否存在生物学上的亲子关系的方法。这种鉴定通常通过比较DNA样本来进行，结果具有较高的准确性。如果亲子鉴定结果显示父母与子女之间存在生物学上的亲子关系，那么这可以作为公证抚养权的有力证据。

除了亲子鉴定，还可以通过其他方式来证明亲子关系，例如收集家庭照片、户口簿、邻居证言等证据。这些证据虽然不如出生证明和亲子鉴定直接，但在一定程度上也可以辅助证明亲子关系。

在收集到足够的证据后，可以向当地公证处或法院提出申请，要求公证抚养权。在申请过程中，需要提交相关证据以证明亲子关系的存在。如果证据充分且符合法律要求，公证处或法院会依法进行公证。

需要注意的是，不同地区的法律规定可能有所不同，因此在具体操作过程中最好咨询当地的法律专业人士，以确保按照正确的程序进行。

总之，虽然没有出生证明会对公证抚养权造成一定的困难，但通过其他途径证明亲子关系的存在仍然是有可能的。在收集到足够证据后，可以向公证处或法院提出申请，要求公证抚养权。